ある部屋に23人が集まっているとします。
その中に、同じ誕生日の人が少なくとも2人いる確率は、どのくらいだと思いますか？
1年には365日あります。
そのため、
「23人しかいないなら、同じ誕生日の人がいる可能性は低いのでは？」
と感じる人が多いでしょう。
10％くらいでしょうか。
それとも20％くらいでしょうか。
実は、一般的な条件で計算すると、その確率は約50.7％になります。
つまり、23人が集まると、同じ誕生日の人が少なくとも1組いる可能性は、いない可能性より少し高くなるのです。
この直感に反する確率の問題は、
「誕生日のパラドックス」
と呼ばれています。
ただし、本当の意味で矛盾しているわけではありません。
結果が私たちの予想と大きく異なるため、「パラドックス」と呼ばれているのです。
何を求める問題なのか？
この問題では、
「自分と同じ誕生日の人がいる確率」
を求めているのではありません。
23人の中で、
誰でもよいので、同じ誕生日の2人がいる確率
を求めています。
この違いが非常に重要です。
自分の誕生日と一致する相手だけを探す場合、比較する相手は22人です。
しかし、23人の中のすべての組み合わせを比較すると、比較できるペアはずっと多くなります。
1人目と2人目。
1人目と3人目。
1人目と4人目。
2人目と3人目。
2人目と4人目。
このように、23人全員の間で誕生日を比較します。
23人から作れるペアは253組
23人の中から2人を選ぶ組み合わせの数は、
23×22÷2＝253
です。
23人しかいないのに、誕生日を比較できるペアは253組もあります。
私たちは「23人」という人数だけを見て、
365日に比べれば少ないと考えてしまいます。
しかし、実際には1人ずつではなく、多数のペアが同時に比較されています。
この253組のどこか一つでも誕生日が一致すれば、
「同じ誕生日の人がいる」
という結果になります。
これが、人数が少なく見えても一致する確率が急速に高くなる理由です。
直接計算するのは難しい
では、
「少なくとも1組の誕生日が一致する確率」
を直接計算してみましょう。
しかし、この方法は簡単ではありません。
ちょうど1組だけ一致する場合。
2組がそれぞれ一致する場合。
3人が同じ誕生日の場合。
複数の一致が同時に起こる場合。
さまざまなケースを重複しないように数える必要があります。
そこで数学では、反対の出来事を先に考えます。
つまり、
全員の誕生日が異なる確率
を計算するのです。
その確率を1から引けば、
少なくとも1組が一致する確率を求められます。
全員の誕生日が異なる確率
計算を簡単にするため、次の条件を仮定します。
- 1年は365日
- 2月29日は考えない
- どの日に生まれる確率も同じ
- 人々の誕生日は互いに独立している
1人目の誕生日は、何日でも問題ありません。
したがって、1人目が他の人と重ならない確率は、
365/365
です。
2人目は、1人目と異なる日に生まれていなければなりません。
その確率は、
364/365
です。
3人目は、最初の2人と異なる日でなければなりません。
使われていない日は363日なので、
363/365
です。
4人目は、
362/365
です。
同じように続けると、23人全員の誕生日が異なる確率は、
365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365
となります。
この値を計算すると、約49.27％です。
1から引くと約50.73％
23人全員の誕生日が異なる確率は、約49.27％でした。
したがって、少なくとも2人の誕生日が一致する確率は、
100％−49.27％＝約50.73％
です。
これが、
「23人で同じ誕生日の人がいる確率は50％を超える」
という結果の理由です。
数学的には、
1−全員の誕生日が異なる確率
を計算しています。
一見複雑な問題でも、反対側の出来事を考えると簡単になることがあります。
これは確率問題でよく使われる「余事象」という考え方です。
22人では50％を超えない
では、22人の場合はどうでしょうか。
22人の中に同じ誕生日の人がいる確率は、約47.6％です。
まだ50％には届きません。
23人になると約50.7％になり、初めて50％を超えます。
わずか1人増えただけですが、その新しい1人は、それまでにいた22人全員と比較されます。
つまり、23人目が加わると、新しく22組のペアが増えるのです。
人数が1人増えるごとに、比較の数も1つだけ増えるわけではありません。
すでにいる全員との新しい比較が追加されます。
人数が増えると確率は急速に高くなる
同じ誕生日の人がいる確率は、人数とともに次のように増えていきます。
10人では、約11.7％。
20人では、約41.1％。
23人では、約50.7％。
30人では、約70.6％。
40人では、約89.1％。
50人では、約97％。
人数が50人になると、同じ誕生日の人がいる確率はほぼ97％に達します。
365人近く集まらなければ高い確率にならないと思うかもしれません。
しかし、実際には比較されるペアの数が急速に増えるため、50人程度でも一致がかなり起こりやすくなります。
「自分と同じ誕生日」とは別の問題
ここで、よく混同される二つの質問を比べてみましょう。
質問1
23人の中で、誰か2人の誕生日が同じ確率は？
答えは約50.7％です。
質問2
自分以外に22人いるとき、自分と同じ誕生日の人がいる確率は？
こちらは約5.9％です。
なぜ、これほど差があるのでしょうか。
質問2では、自分の誕生日と22人の誕生日だけを比較します。
一方、質問1では、23人全員のあらゆるペアを比較します。
比較できる組み合わせが253組あるため、誰かが一致する確率が高くなるのです。
100％になるのは何人？
同じ誕生日の人がいる確率が100％になるためには、何人必要でしょうか。
通常の365日だけを考えるなら、答えは366人です。
365日しかない場所に366人の誕生日を割り当てると、少なくとも2人は必ず同じ日になります。
これは「鳩の巣原理」と呼ばれる考え方です。
365個の箱に366個の物を入れれば、どこか一つの箱には必ず2個以上入ります。
ただし、誕生日のパラドックスが驚くべきなのは、100％になる人数ではありません。
わずか23人で、すでに50％を超えるところにあります。
実際の誕生日は均等ではない
現実には、すべての日の出生数が完全に同じではありません。
季節、曜日、祝日、計画出産などの影響によって、出生数には偏りがあります。
しかし、誕生日が均等でない場合でも、一般的には一致する確率が大きく下がるわけではありません。
特定の日に誕生日が集中すれば、むしろ一致が起こりやすくなる場合があります。
ただし、学校のクラスや職場の集団では、年齢や出生時期に偏りがある可能性もあります。
そのため、現実の集団で測定した結果は、単純な365日モデルと完全には一致しないことがあります。
コンピューターの世界でも重要
誕生日のパラドックスは、単なる誕生日の遊びではありません。
コンピューターや情報セキュリティの分野でも重要な考え方です。
コンピューターでは、データから一定の長さの値を作る「ハッシュ関数」が使われます。
異なるデータから同じハッシュ値が作られることを「衝突」と呼びます。
利用できるハッシュ値の数が非常に多くても、生成するデータの数が増えると、予想より早く衝突が起こる可能性があります。
この性質を利用した攻撃は、
バースデー攻撃
と呼ばれています。
誕生日の問題で「同じ日」が見つかるのと同じように、コンピューターでは「同じハッシュ値」が見つかる可能性を考えるのです。
身近な場所で試してみよう
学校のクラス、会社の部署、趣味の集まりなどで、誕生日を調べてみてください。
23人以上いるなら、同じ誕生日の人が見つかる可能性は半分を超えます。
ただし、1回調べて一致しなかったからといって、計算が間違っているわけではありません。
約50.7％ということは、必ず一致するという意味ではありません。
同じ人数の集団を何度も作って調べると、長期的には約半分の集団で一致が見つかるという意味です。
確率は、一度だけの結果を予言するものではありません。
同じ条件を何度も繰り返したときに現れる傾向を表しています。
まとめ
誕生日のパラドックスでは、23人の中に同じ誕生日の人が少なくとも1組いる確率は約50.7％です。
人数が365日に比べて少ないのに確率が高くなるのは、23人から253組ものペアを作れるからです。
計算するときは、同じ誕生日がある場合を直接数えるのではなく、
1−全員の誕生日が異なる確率
を使います。
また、
「誰か2人の誕生日が同じ」
という問題と、
「自分と同じ誕生日の人がいる」
という問題は異なります。
直感では人数だけに注目してしまいますが、確率では比較の回数や組み合わせの数も重要です。
あなたの身近な集まりには、同じ誕生日の人がいますか？
23人以上いる場所で、実際に調べてみてください。
次回は、自然界や芸術、デザインの中にも現れる不思議な数字の並び、
「フィボナッチ数列」
を分かりやすく紹介します。
次の記事：フィボナッチ数列とは？自然界にも現れる不思議な数字の並び
