突然ですが、
この問題を見てください。
√2025 = ？
電卓は禁止です。
筆算もしません。
制限時間は、
10秒。
「平方根なんて暗算できない！」
と思った人もいるでしょう。
でも、
2025という数字をよく見ると、
答えへ近づくヒントが隠れています。
まずは自分で考えてみてください。
10……
9……
8……
答えは、
45
です。
つまり、
√2025 = 45
なぜこんな数字を、
暗算で見つけられるのでしょうか？
【√2025の答えはなぜ45？まず平方根の意味を確認】
平方根という言葉を見ると、
難しい公式を想像するかもしれません。
でも、
考え方はシンプルです。
√2025は、
「同じ数を2回掛けて2025になる数は何？」
と考えることができます。
つまり、
□ × □ = 2025
になる□を探します。
答えが45なら、
確認してみましょう。
45 × 45
= 2025。
確かに一致します。
だから、
√2025 = 45
なのです。
【平方根を暗算するコツ① まず近い平方数を探す】
では、
45という数字を知らない状態から、
どうやって見つければいいのでしょうか？
最初のコツは、
近くのわかりやすい平方数
を探すことです。
例えば、
40² = 1600
50² = 2500
です。
2025は、
1600と2500の間にあります。
ということは、
√2025は、
40と50の間です。
これだけで、
候補が一気に小さくなります。
【2025の下一桁「5」に注目すると候補がさらに減る】
次に、
2025の最後の数字を見てください。
5
です。
ここで、
5で終わる整数を2乗してみます。
15 × 15 = 225
25 × 25 = 625
35 × 35 = 1225
45 × 45 = 2025
55 × 55 = 3025
すべて、
答えの最後が25になっています。
つまり、
2025が完全平方数だとわかっているなら、
下一桁が5になる平方根
を疑うことができます。
先ほど、
√2025は40と50の間だとわかりました。
その範囲で、
最後が5の整数は……
45
しかありません。
そこで、
45²を確認すればいいのです。
【45²を簡単に計算する「5で終わる数」の暗算】
ここで、
さらに便利な計算方法があります。
45²を普通に筆算しなくても、
簡単に計算できます。
5で終わる2桁の数、
例えば45なら、
最初の数字は4です。
その4に、
次の数字5を掛けます。
4 × 5 = 20
そして最後に、
25を付けます。
2025
つまり、
45² = 2025。
同じ方法で、
35²なら、
3 × 4 = 12
最後に25。
1225
65²なら、
6 × 7 = 42
最後に25。
4225
となります。
【なぜ5で終わる数の2乗は簡単に計算できる？】
これは偶然ではありません。
5で終わる2桁の整数を、
10a + 5
と考えてみます。
これを2乗すると、
(10a + 5)²
= 100a² + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25
となります。
つまり、
a × (a+1)
を計算して、
その後ろに25を付ければよいのです。
例えば45なら、
a = 4。
4 × 5 = 20。
その後ろに25。
2025。
これが、
「5で終わる数の2乗」の暗算が簡単な理由です。
【平方根の暗算はすべてこの方法で解ける？】
ここは重要です。
この方法を知ったからといって、
どんな平方根でも一瞬で解けるわけではありません。
例えば、
√2000
は整数ではありません。
2025のように、
整数を2乗してできる数を、
完全平方数
と呼びます。
1 = 1²
4 = 2²
9 = 3²
16 = 4²
25 = 5²
100 = 10²
400 = 20²
2025 = 45²
というような数字です。
完全平方数の特徴や、
よく使う平方数を少し知っていると、
平方根をかなり速く判断できるようになります。
【平方根を見抜くコツ② 数字の範囲を先に絞る】
もう一つ問題です。
√5625 = ？
いきなり計算しないでください。
まず、
70² = 4900
80² = 6400
です。
5625はその間。
だから、
答えは70〜80の間です。
さらに5625は、
25で終わっています。
そこで、
75を試します。
5で終わる数の2乗なので、
7 × 8 = 56
最後に25。
5625
したがって、
√5625 = 75
です。
【10秒チャレンジ① √1225はいくつ？】
では、
自分で挑戦してください。
√1225 = ？
ヒントは、
30² = 900
40² = 1600。
つまり、
答えは30〜40の間。
さらに、
1225は25で終わっています。
候補は……
35。
確認すると、
3 × 4 = 12
その後ろに25。
1225。
答えは、
35
【10秒チャレンジ② √3025はいくつ？】
次はこちら。
√3025 = ？
50² = 2500。
60² = 3600。
だから、
答えは50〜60の間です。
そして3025は、
25で終わっています。
候補は、
55。
5 × 6 = 30。
後ろに25。
3025。
したがって、
√3025 = 55
です。
【もう一段難しい問題：√7225はいくつ？】
では、
少し難しくします。
√7225 = ？
まず範囲を考えます。
80² = 6400
90² = 8100
だから、
答えは80〜90の間。
そして、
7225は25で終わっています。
そこで、
85を確認します。
8 × 9 = 72
後ろに25。
7225
したがって、
√7225 = 85
です。
最初の√2025より、
かなり速く解けるようになったのではないでしょうか？
【平方根の暗算で間違えやすいポイント】
ただし、
注意も必要です。
「25で終わっているから、
必ず平方根が5で終わる」
と決めつけてはいけません。
例えば、
√125
は整数ではありません。
大切なのは、
まず近い平方数から、
答えのおおよその範囲を確認すること。
そのうえで、
完全平方数になりそうかを調べます。
暗算のテクニックは、
答えを無理やり決めるためではありません。
候補を素早く絞るための道具
として使うのがポイントです。
【平方根を暗算する方法を30秒で復習】
今日覚えてほしいのは、
次の4つです。
① √Nは「何を2乗するとNになるか」と考える。
② 近くの平方数を使って答えの範囲を絞る。
③ 25で終わる完全平方数では、5で終わる平方根が候補になる。
④ 5で終わる2桁の数の2乗は「前の数字×次の数字＋25」で素早く確認できる。
例えば、
45²なら、
4 × 5 = 20
→ 2025。
75²なら、
7 × 8 = 56
→ 5625。
85²なら、
8 × 9 = 72
→ 7225。
仕組みを知れば、
長い筆算をしなくても、
頭の中で答えを確認できます。
【まとめ：√2025は数字の特徴を使えば暗算できる】
√2025を見たとき、
いきなり難しい計算をする必要はありません。
40²と50²から、
答えが40〜50の間だと考える。
2025の最後の「25」に注目する。
45²を、
5で終わる数の暗算法で確認する。
すると、
√2025 = 45
と判断できます。
数学の面白さは、
計算をたくさんすることだけではありません。
数字の中にある特徴を見つけ、
計算そのものを簡単にする。
それも、
数学の楽しさの一つです。
【次回予告】
次は科学です。
冷たいコップを机に置いておくと、
しばらくして、
外側に水滴が付きます。
でも……
その水は、
いったいどこから来たのでしょう？
コップの中の水が、
ガラスを通り抜けた？
それとも、
空気の中から現れた？
31편에서는、
「水滴 × 空気 × 温度」
毎日見ているのに意外と説明できない、
身近な科学の不思議を見ていきます。
