「0.999…は、1よりほんの少しだけ小さい数」
そう思っていませんか？
0.9は1より小さい。
0.99も1より小さい。
0.999も、やはり1より小さい。
それなら、9がずっと続く0.999…も、1には届かないように感じます。
しかし、数学では次の等式が正しいとされています。
0.999…＝1
見た目が違う二つの数字が、なぜ同じなのでしょうか。
これは数学者だけが使う特別な決まりではありません。私たちが普段使っている実数の世界では、0.999…と1はまったく同じ数を表しています。
今回は、分数、引き算、代数、数直線という複数の方法を使って、その理由を一つずつ考えてみましょう。
まず「…」の意味を確認しよう
0.999…の最後にある「…」は、9が途中で終わらず、無限に続くことを表しています。
0.9
0.99
0.999
0.9999
このような有限の小数は、すべて1より小さい数です。
しかし、0.999…は0.999や0.9999とは違います。
0.999…には「最後の9」がありません。
どこかで止まる数ではなく、9が永遠に続く無限小数なのです。
ここを有限の小数と同じように考えると、0.999…が1より少し小さいように感じてしまいます。
証明1：1÷3から考える
最も分かりやすい方法の一つは、3分の1を使うことです。
1を3で割ると、
1÷3＝0.333…
となります。
この式の両方を3倍してみましょう。
左側は、
1÷3×3＝1
です。
右側は、
0.333…×3＝0.999…
になります。
したがって、
1＝0.999…
です。
0.333…に3を掛けると、小数点以下のすべての3が9になります。
9が有限個だけ並ぶのではなく、無限に続くため、答えも0.999…になります。
「1÷3＝0.333…」を認めるなら、その両辺を3倍した「1＝0.999…」も認める必要があります。
証明2：文字を使って計算する
次は、代数を使った方法です。
0.999…をxとします。
x＝0.999…
両辺を10倍すると、小数点が一つ右へ移動します。
10x＝9.999…
ここで、10xからxを引きます。
10x−x＝9.999…−0.999…
右側では、小数点以下の9がすべて消えます。
したがって、
9x＝9
両辺を9で割ると、
x＝1
となります。
最初にx＝0.999…と置いたので、
0.999…＝1
です。
この方法でも、9が途中で終わらず無限に続いていることが大切です。
証明3：1との差を調べる
今度は、1との差を見てみましょう。
1−0.9＝0.1
1−0.99＝0.01
1−0.999＝0.001
9が一つ増えるたびに、1との差は10分の1になります。
0.9との差は0.1。
0.99との差は0.01。
0.999との差は0.001。
では、9が無限に続いたとき、差はいくつになるでしょうか。
差もまた、
0.1
0.01
0.001
0.0001
と限りなく小さくなります。
どれだけ小さくなっても、まだ正の数が残るように思えるかもしれません。
しかし、実数の中で「0より大きいのに、どんな正の数よりも小さい数」は存在しません。
そのため、
1−0.999…＝0
となります。
差が0なら、二つの数は同じです。
したがって、
0.999…＝1
です。
「限りなく近い」と「等しい」は違う？
ここで、よくある疑問があります。
「0.999…は1に限りなく近いだけで、1そのものではないのでは？」
有限の段階だけを見ると、この考え方は自然です。
0.9は1に近いですが、1ではありません。
0.99も1に近いですが、1ではありません。
0.999も1に近いですが、1ではありません。
しかし、0.999…は有限の途中段階ではありません。
9が無限に続いた結果を表す数です。
0.9、0.99、0.999、0.9999……という数列は、1に近づいていきます。
数学では、この数列の極限を1と定めます。
そして0.999…は、その極限を表す書き方です。
そのため、0.999…は「1の直前にある数」ではなく、1そのものなのです。
1の直前にある数は存在する？
もし0.999…が1より小さいと考えるなら、二つの数の間には差があるはずです。
その差をdとすると、
d＝1−0.999…
です。
しかし、先ほど確認したように、この差は0になります。
また、実数の世界では、1の直前にある「最大の数」は存在しません。
たとえば、1より小さい0.9を選んでも、その間には0.95があります。
0.99を選んでも、その間には0.995があります。
どんな数を選んでも、その数と1の間には別の数を作ることができます。
したがって、「1より小さいが、1のすぐ隣にある最後の数」というものはありません。
数直線では同じ位置にある
数直線を想像してみましょう。
0から1までの線の上に、0.9、0.99、0.999を置いていきます。
0.9より0.99のほうが1に近く、0.99より0.999のほうが1に近くなります。
9を増やすほど、点は1へ近づいていきます。
そして9が無限に続く0.999…は、数直線上で1と同じ位置に到達します。
0.999…専用の、1とは別の位置があるわけではありません。
二つの表記は、同じ一つの点を示しています。
一つの数に二つの小数表現がある
「同じ数なのに、なぜ書き方が二つあるの？」
そう感じるかもしれません。
実は、有限小数として表せる数には、二つの小数表現があります。
たとえば、
1＝1.000…＝0.999…
0.5＝0.5000…＝0.4999…
0.25＝0.25000…＝0.24999…
です。
9が無限に続く表現は、その一つ上の有限小数と同じ数を表します。
これは矛盾ではありません。
「2分の1」と「0.5」が同じ数を別の方法で表しているのと同じです。
数には、分数、小数、百分率など複数の表現方法があります。
0.999…と1も、同じ数の異なる表現なのです。
0.999…の後ろに小さな差を置ける？
「0.999…と1の間に、目では見えないほど小さな差があるのでは？」
という疑問もあります。
しかし、差があるなら、それは0ではない正の数でなければなりません。
その差を半分にすれば、さらに小さい正の数を作ることができます。
それでも0.999…と1の間に入る必要があります。
この操作は何度でも続けられます。
ところが0.999…は、すでに有限の9の列ではなく、無限に続く数です。
実数の通常の体系では、その後ろに追加できる「最後の小さな差」は残っていません。
だからこそ、0.999…と1の差は0なのです。
なぜ直感では納得しにくいのか
私たちは普段、有限のものを考えることに慣れています。
10個、100個、1,000個のように、最後があるものなら簡単に想像できます。
しかし、無限には最後がありません。
0.999…を見たとき、無意識のうちに「9がものすごくたくさん並んでいるが、いつか終わる数」として想像してしまうことがあります。
もし9が途中で終わるなら、その数は確かに1より小さいです。
しかし、0.999…は途中で終わりません。
この「終わらない」という点が、直感と数学的な結論の違いを生み出しています。
電卓ではどう表示される？
電卓で1÷3を計算すると、画面の大きさによって、
0.3333333
のように表示されます。
これは本当の答えが途中で終わっているのではありません。
電卓の画面に表示できる桁数に限界があるため、途中までしか見せられないのです。
同じように、その表示を3倍すると0.9999999になる場合があります。
これも数学的に1より小さいという意味ではなく、電卓内部の近似や表示桁数によるものです。
数学上の正確な値では、
3分の1×3＝1
であり、
0.333…×3＝0.999…＝1
です。
まとめ
0.999…が1と同じになる理由で、最も大切なのは「9が無限に続く」という点です。
有限の0.9、0.99、0.999は、すべて1より小さい数です。
しかし0.999…には最後の9がありません。
1÷3を利用する方法でも、文字を使った計算でも、1との差を考える方法でも、結論は同じです。
0.999…＝1
二つは限りなく近い別々の数ではありません。
同じ数を異なる方法で表したものです。
見た目だけでは信じにくいかもしれませんが、複数の方法で考えると、同じ答えにたどり着きます。
あなたは最初、0.999…は1より小さいと思っていましたか？
それとも、最初から1と同じだと思っていましたか？
次回は、三つのドアから一つを選ぶ有名な確率問題、
「モンティ・ホール問題では、なぜドアを変えたほうが得なのか？」
を分かりやすく紹介します。
