目の前に、閉じたドアが3枚あります。
1枚のドアの後ろには豪華な車があり、残り2枚のドアの後ろにはヤギがいます。
あなたが獲得できるのは、自分が最後に選んだドアの後ろにあるものです。
まず、3枚の中から好きなドアを1枚選びます。
すると司会者は、あなたが選ばなかった2枚のうち、ヤギがいるドアを1枚開けます。
そして、こう尋ねます。
「最初に選んだドアのままにしますか？ それとも、残っているドアに変えますか？」
閉じたドアは2枚です。
そのため、多くの人は、
「車がある確率は半分ずつでは？」
と考えます。
しかし、決められた条件のもとでは、最初のドアを維持するより、残ったドアへ変更したほうが有利です。
最初の選択を維持した場合の当選確率は3分の1。
ドアを変更した場合の当選確率は3分の2です。
なぜ、ドアを変えるだけで当選確率が2倍になるのでしょうか。
最初に車を選べる確率は3分の1
最初に選ぶ時点では、ドアが3枚あります。
車があるドアは1枚だけなので、最初から車を選べる確率は、
1/3
です。
反対に、最初にヤギを選んでしまう確率は、
2/3
です。
この最初の確率は、司会者がドアを1枚開けても消えません。
ここが、この問題を理解するための最も重要なポイントです。
司会者は何も知らずに開けているのではない
普通のくじ引きなら、選択肢が2つ残れば、それぞれ半分と考えたくなります。
しかし、モンティ・ホール問題の司会者は、車とヤギの場所を知っています。
さらに、次の条件に従って行動します。
- あなたが選んだドアは開けない
- 必ずヤギがいるドアを開ける
- 必ず残ったドアへ変更する機会を与える
つまり、司会者は偶然ドアを開けたのではありません。
車の場所を避け、必ず外れのドアを1枚取り除いています。
この行動によって、最初に選ばなかった2枚のドアが持っていた合計3分の2の確率が、最後まで閉じている1枚へ集まります。
3つの場合を並べると分かりやすい
あなたが最初にドア1を選んだとします。
車の場所には、次の3通りがあります。
車がドア1にある場合
あなたは最初から車を選んでいます。
その確率は3分の1です。
この場合、司会者はドア2かドア3のヤギを見せます。
その後でドアを変えると、ヤギを選ぶことになります。
したがって、この場合は変更すると負けです。
車がドア2にある場合
あなたが選んだドア1にはヤギがいます。
司会者は、もう一方のヤギがいるドア3を開けます。
閉じたまま残るドア2には車があります。
したがって、この場合は変更すると勝ちです。
車がドア3にある場合
あなたが選んだドア1にはヤギがいます。
司会者は、ヤギがいるドア2を開けます。
閉じたまま残るドア3には車があります。
この場合も、変更すると勝ちです。
3通りのうち、変更すると勝つ場合は2通りです。
つまり、ドアを変更したときの当選確率は、
2/3
になります。
「維持」と「変更」の違い
最初のドアをそのまま維持する戦略は、とても単純です。
最初の1回で車を選べたときだけ勝ちます。
その確率は3分の1です。
一方、変更する戦略では、最初にヤギを選んでいたときに勝ちます。
最初にヤギを選ぶ確率は3分の2です。
つまり、変更戦略は、
最初の選択が間違っていた場合に勝つ戦略
だと考えることができます。
最初の選択が間違っている確率は3分の2なので、変更したほうが有利なのです。
ドアが100枚なら直感的に分かる
3枚では分かりにくいので、ドアを100枚に増やしてみましょう。
100枚のドアのうち、車があるのは1枚だけです。
あなたは最初に1枚を選びます。
最初から車を選べる確率は、
1/100
です。
最初に選ばなかった99枚の中に車がある確率は、
99/100
です。
ここで司会者が、あなたのドアと車のドアを除き、ヤギがいる98枚をすべて開けたとします。
最後に閉じているのは、あなたが最初に選んだ1枚と、司会者が残した1枚だけです。
このとき、最初のドアを信じ続けますか？
それとも、99枚の候補の中から司会者が最後まで残したドアに変えますか？
最初のドアが当たりである確率は、今も1/100です。
残ったもう1枚のドアが当たりである確率は99/100です。
ドアが100枚になると、変更が有利である理由が見えやすくなります。
100回繰り返したらどうなる？
同じゲームを100回行うと考えてみましょう。
毎回、最初の選択を維持する人は、平均的には約33回当たります。
毎回ドアを変更する人は、平均的には約67回当たります。
実際の回数は偶然によって多少変わります。
10回程度なら、維持する人のほうが多く当たることもあるでしょう。
しかし、試す回数を増やしていくと、結果は少しずつ理論上の確率に近づきます。
維持は約3分の1。
変更は約3分の2です。
なぜ2枚なのに半分ずつではないのか？
最後に閉じているドアは2枚です。
しかし、2枚が残っているからといって、必ず確率が半分ずつになるわけではありません。
重要なのは、その2枚がどのような過程で残ったのかです。
最初に選んだドアは、3枚の中から何も知らずに選んだドアです。
一方、もう1枚のドアは、司会者が車の場所を知ったうえで、ヤギのドアを避けて残したドアです。
見た目は同じ「閉じたドア」でも、そこへ至るまでの情報が異なります。
確率を考えるときは、最後に見えている選択肢の数だけでなく、どのような条件で選択肢が残ったのかを見る必要があります。
司会者のルールが違えば答えも変わる
この問題で「変更すると3分の2になる」という結論には、大切な条件があります。
司会者が車の場所を知っていること。
必ずヤギのドアを開けること。
そして、どの結果でも必ず変更の機会を与えることです。
もし司会者が中身を知らず、偶然ドアを開けているなら、同じ計算をそのまま使うことはできません。
最初に車を選んだときだけ変更を勧める司会者なら、変更は不利になります。
確率問題では、数字だけでなく、問題に設定されたルールを正確に確認することが大切です。
まとめ
モンティ・ホール問題では、標準的な条件のもとでドアを変更すると、車が当たる確率は3分の2になります。
最初の選択を維持した場合は3分の1です。
司会者がヤギのドアを開けても、最初に選んだドアの確率が3分の1から2分の1に増えるわけではありません。
最初に選ばなかったドア全体が持っていた3分の2の確率が、司会者によって最後まで残された1枚に集まるのです。
この問題が教えてくれるのは、直感がいつも正しいとは限らないということです。
見えている選択肢が2つでも、それまでに得られた情報によって確率は変わります。
あなたが実際にこのゲームへ参加したら、最初のドアを信じますか？
それとも、数学を信じて残ったドアへ変更しますか？
次回は、わずか23人集まるだけで、同じ誕生日の人がいる確率が50％を超えるという不思議な問題、
「誕生日のパラドックス」
を分かりやすく紹介します。
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