教室に23人います。
その中に、
同じ誕生日の人が2人いる確率
は、どれくらいだと思いますか？
1年は365日あります。
23人しかいないなら、
「そんなに高くないでしょう」
と思いますよね。
10％くらい？
20％くらい？
ところが実際には……
50％を超えます。
「えっ、23人だけで？」
そう感じた人は多いはずです。
これは有名な、
「誕生日のパラドックス」
と呼ばれる問題です。
ただし、パラドックスといっても矛盾があるわけではありません。
人間の直感と実際の確率が大きくズレる
という意味で、とても面白い問題なのです。
なぜ23人で50％を超えるの？
ここで多くの人が、
少し違う問題を考えてしまいます。
例えば、
「自分と同じ誕生日の人がいる確率」
です。
これは確かにそれほど高くありません。
でも誕生日のパラドックスで考えるのは、
「23人の中の誰かと誰かが同じ誕生日になる確率」
です。
ここが大きな違いです。
23人なら、何組のペアができる？
では、
23人から2人組を作ると何通りあるでしょう？
AさんとBさん。
AさんとCさん。
AさんとDさん。
……
このように組み合わせていくと、
23人からできる2人組は、
253組
あります。
計算すると、
23 × 22 ÷ 2 = 253
です。
たった23人でも、
比較するペアは253組もあるのです。
つまり、
「23人しかいない」
と考えるより、
「誕生日を比較するチャンスが253回もある」
と考えたほうが、実際の状況に近いのです。
同じ誕生日を直接計算するのは大変
では実際の確率を計算してみましょう。
でも、
「誰かと誰かが同じ誕生日」
を直接数えるのは少し面倒です。
そこで数学では、
反対側から考える
という方法を使います。
つまり、
「23人全員の誕生日が違う確率」
を先に求めます。
そして最後に、
1 － 全員違う確率
とすれば、
少なくとも1組が同じ誕生日になる確率がわかります。
この考え方がポイントです。
2人目が違う誕生日になる確率は？
1人目は、
何月何日でも構いません。
2人目が1人目と違う誕生日になる確率は、
364 / 365
です。
3人目はどうでしょう？
すでに2つの日付が使われています。
だから、
363 / 365
4人目なら、
362 / 365
です。
これを23人目まで掛けていきます。
つまり、
23人全員の誕生日が異なる確率は、
364/365 × 363/365 × 362/365 × … × 343/365
となります。
この値は約、
49.3％
です。
ということは……
少なくとも1組が同じ誕生日になる確率は、
100％ − 49.3％ ≒ 50.7％
になります。
本当に50％を超えました。
30人ならどうなる？
では人数を増やしてみましょう。
23人で約50.7％。
30人では、
約70.6％
になります。
40人では、
約89.1％
50人では、
約97.0％
まで上がります。
「365日もあるのに！」
と思いますよね。
でも重要なのは、
人数が増えると、
人の数よりも「ペアの数」が急速に増える
ことです。
例えば50人なら、
2人組は、
50 × 49 ÷ 2 = 1,225組
もあります。
これだけ比較する機会があれば、
同じ誕生日が出てくる確率が高くなるのも少し納得できます。
何人いれば90％を超える？
ここでクイズです。
同じ誕生日の人がいる確率が、
90％を超えるには、
何人くらい必要でしょう？
① 41人
② 90人
③ 183人
答えは……
① 41人
です。
41人いると、
少なくとも1組が同じ誕生日になる確率は、
約90.3％
になります。
「半分の365人くらい必要そう」
という直感とは、
かなり違いますよね。
70人ならほぼ確実？
では70人ならどうでしょう？
70人では、
同じ誕生日の人がいる確率は、
約99.9％
です。
もちろん、
必ずではありません。
でもかなり高い確率です。
教室。
会社。
イベント。
スポーツチーム。
少し大きな集まりなら、
「同じ誕生日の人がいる」
というのは、
思っているほど珍しい出来事ではないのです。
でも「自分と同じ誕生日」は別の話
ここで、もう一度整理しておきましょう。
23人の中で、
誰かと誰かが同じ誕生日
になる確率は約50.7％です。
しかし、
あなたがその23人のうち1人だとして、
「自分と同じ誕生日の人がいる確率」
は別です。
比較する相手は22人しかいません。
だから、
23人の中のどこか1組が一致する確率ほど高くありません。
この違いを混同すると、
「23人で50％なんておかしい！」
と感じてしまいます。
なぜ人間の直感は間違えやすい？
人間は、
人数を見ると、
「23人」
という数字だけに注目しやすいです。
でも数学では、
その23人の間に、
何通りの組み合わせがあるか
を見る必要があります。
人数が2倍になると、
ペアの数は単純に2倍ではありません。
もっと速く増えます。
これが、
誕生日のパラドックスが直感に反する大きな理由です。
実生活でも似たことがある？
この考え方は、
誕生日だけの話ではありません。
例えば、
大勢の人の中で同じ名前が出る。
同じ番号を選ぶ。
同じ時間帯に同じ行動をする。
こうした、
「どこかの組み合わせが一致する」
という問題では、
比較する組み合わせの数がとても重要になります。
だから、
少人数に見えても、
一致のチャンスは思ったより多いことがあります。
【10秒チャレンジ】
ここで問題です。
23人から作れる2人組は何組でしょう？
① 23組
② 46組
③ 253組
答えは……
③ 253組
です。
計算は、
23 × 22 ÷ 2
です。
この253組という多さが、
誕生日のパラドックスの秘密の一つです。
もう1問！直感で答えてみてください
次のうち、
同じ誕生日の人がいる確率が最も高いのは？
A. 20人
B. 30人
C. 40人
もちろん答えは、
Cの40人
です。
でも面白いのは、その数字。
20人では約41.1％
30人では約70.6％
40人では約89.1％
になります。
人数が少し増えるだけで、
確率はかなり大きく変わるのです。
30秒で復習
今日覚えてほしいことは4つです。
① 23人で同じ誕生日の人がいる確率は約50.7％。
② ポイントは人数ではなく、2人組の組み合わせが多いこと。
③ 23人からは253組のペアができる。
④ 「誰かと誰かが同じ誕生日」と「自分と同じ誕生日」は別問題。
365日もあるのに、
23人で50％を超える。
数学の面白さは、
こうしたところにあります。
直感では「ありえない」と思ったことが、計算すると本当に起こる。
これが確率の不思議です。
次回予告
鏡はなぜ「左右だけ」反対に見える？実は左右を逆にしていない？
鏡を見ると、
右手を上げれば、
鏡の中の自分は左手を上げているように見えます。
だから、
「鏡は左右を逆にする」
と思いますよね。
でも……
上下は逆になりません。
では、
なぜ左右だけ？
実は鏡は、
左右を直接ひっくり返しているわけではありません。
27편에서는、
鏡 × 空間 × 目の錯覚
の不思議を見ていきます。
